天津市南开区人民法院

根据《民事诉讼法》《刑事诉讼法》等相关法律规定，该中级人民法院管辖的一审案件范围如下：

1. 重大涉外案件；

2. 在本辖区内有重大影响的案件；

3. 最高人民法院确定由中级人民法院管辖的案件（如专利、证券、期货等专业类纠纷案件）；

4. 危害国家安全、恐怖活动案件，可能判处无期徒刑、死刑的刑事案件。

向该中级人民法院提起上诉，完整流程如下：

1. 在法定上诉期内，备齐上诉状、身份证明、一审裁判文书、相关证据等材料；

2. 将上诉材料提交至原审基层人民法院，由原审法院完成送达、案卷整理后，移送至该中级人民法院；

3. 该中级人民法院收到案卷后，会进行立案审查，符合受理条件的，分配案号与承办法官，并向上诉人送达受理通知书、缴费通知书；

4. 上诉人在规定时限内缴纳上诉费，法院按流程安排二审庭审、书面审理或调解，最终作出二审裁判。

该中级人民法院二审案件的审理期限，严格遵循法律规定，不同类型案件时限不同：

1. 民事二审案件：应当在第二审立案之日起 3 个月内审结，有特殊情况需要延长的，由本院院长批准；

2. 刑事二审案件：应当在第二审立案之日起 2 个月内审结，对于可能判处死刑的案件、附带民事诉讼的案件，经省、自治区、直辖市高级人民法院批准或决定，可以延长 2 个月，因特殊情况还需要延长的，报请最高人民法院批准；

3. 行政二审案件：应当在收到上诉状之日起 3 个月内作出终审判决，有特殊情况需要延长的，由高级人民法院批准。